Question

3．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．
求证：∠AMD=∠FMC．

Answer 1

分析 首先连接BM，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AMB=∠BMF=90°，又由AB⊥CD于E，可得：$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，继而证得∠CMB=∠BMD，则可证得结论．

解答 证明：连结BM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=∠BMF=90°，
又∵AB⊥CD于E，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠CMB=∠BMD，
∴∠AMD=∠AMB-∠BMD=∠BMF-∠CMB=∠CMF，
即：∠AMD=∠FMC．

点评 此题考查了圆周角定理以及垂径定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．