题目内容
11．
如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
（3）在抛物线上是否存在点G，使△DGB为直角三角形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．根据对称轴x=-$\frac{b}{2a}$可得出对称轴的解析式．
（2）PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．
（3）可将三角形BCF分成两部分来求：
一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．
一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．
然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．
解答 解：（1）令y=0，则-x2+2x+3=-（x+1）（x-3）=0，
解得x=-1或x=3，则A（-1，0），B（3，0）．
抛物线的对称轴是：直线x=1．
令x=0，则y=0，则C（0，3）．
综上所述，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是x=1；
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=-m2+2m+3，
∴F（m，-m2+2m+3）
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m2+3m=2，
解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），
可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S△BPF+S△CPF
即S=$\frac{1}{2}$PF•BM+$\frac{1}{2}$PF•OM=$\frac{1}{2}$PF•（BM+OM）=$\frac{1}{2}$PF•OB．
∴S=$\frac{1}{2}$×3（-m2+3m）=-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{9}{2}$m（0≤m≤3）．
（3）∵点B（3，0），D（1，4），
∴直线BD的解析式为y=-2x+6，
Ⅰ：当以BD为直角边且B为顶点时，设直线BG1的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵经过B（3，0），
∴直线BG1的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$=-x2+2x+3，
解得：x=-$\frac{3}{2}$或x=3（舍去），
将x=-$\frac{3}{2}$代入y=-x2+2x+3得y=-$\frac{9}{4}$，
∴G1的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
Ⅱ：当以BD为直角边且D为顶点时，设直线BG2的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵经过D（1，4），
∴直线BG2的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$=-x2+2x+3，
解得：x=$\frac{1}{2}$或x=1（舍去），
将x=$\frac{1}{2}$代入y=-x2+2x+3得y=$\frac{15}{4}$，
∴G2的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
Ⅲ：当以BD为斜边时，设G3的坐标为（x，-x2+2x+3），
如图，则BM=3-x，G3M=-x2+2x+3，NG3=4-（-x2+2x+3）=x2-2x+1，DN=1-x，
∵BG32+G3D2=BD2，
即：BM2+G3M2+NG32+DN2=BD2，
∴（3-x）2+（-x2+2x+3）2+（x2-2x+1）2+（1-x）2=20，
解得：x=1或3（均舍去），
综上：点G的坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$）、（$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）、（0，3）．
点评 本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础．
如图所示，在长方形ABCD中，BC=24cm，AB=10cm，点P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{3}{4}$ | C． | $\frac{7}{4}$ | D． | $\frac{4}{7}$ |
如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1．若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，则点N的坐标为（1，-1），或（3，1）．| A． | $\sqrt{2}$cm | B． | $\sqrt{3}$cm | C． | 3cm | D． | $\sqrt{5}$cm |
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．