Question

1．如图，P是⊙O的直线AB的延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠PQC=45°．

Answer 1

分析 首先连接BC交PQ于E，由PC与圆D相切于点C，根据弦切角定理，即可得∠PCB=∠A，又由AB为直径，即可得∠ACB=90°，然后由PQ平分∠APC与三角形外角的性质（∠CQP=∠A+∠APQ，∠CEQ=∠PCB+∠QPC），即可证得∠CQP=CEQ，则可求得∠PQC的度数．

解答 解：解：连接BC交PQ于E，
∵PC与圆D相切于点C，
∴∠PCB=∠A，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵PQ平分∠APC，
∴∠APQ=∠QPC，
∵∠CQP=∠A+∠APQ，∠CEQ=∠PCB+∠QPC，
∴∠CQP=∠CEQ=$\frac{180°-90°}{2}$=45°．
故答案为45

点评 此题考查了圆的切线的性质，圆周角的性质，弦切角定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．