Question

4．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（2，3），B（-3，n）两点
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）根据条件，直接写出$\frac{m}{x}$＞kx+b的解集．
（3）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）首先把A的坐标代入反比例函数关系式中可以求出m，再把B（1，n）代入反比例函数关系式中可以求出n的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；
（2）根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案．
（3）利用三角形的面积公式即可直接求解．

解答 解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=2×3=6．
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{6}{x}$．
∵点B（-3，n）也在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，
∴n=-2，即B（-3，-2）．
把点A（2，3），点B（-3，-2）代入一次函数y=kx+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{-3k+b=-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴一次函数解析式为y=x+1．
（2）∵A（2，3），B（-3，-2），
观察图象可知，当x＜-3或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式$\frac{m}{x}$＞kx+b的解集是x＜-3或0＜x＜2．
（3）作BD⊥AC于E．则AC=3，BE=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE=$\frac{1}{2}$×3×5=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用以及三角形的面积公式，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．