Question

16．如图，图（1）和图（2）都是7×7正方形网格，每个小正方形的边长是1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．
（1）在图（1）中画出一个以AB为一边的直角三角形ABC，使△ABC的面积为15，并直接写出tan∠ABC的值；
（2）在图（2）中，沿着平行四边形CDEF的任意一个顶点画一条线段将其分成两部分，再将这两部分拼成一个等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先画出图形，利用勾股定理分别计算三边的长，根据勾股定理的逆定理得出所画的△ABC是直角三角形，并计算tan∠ABC的值；
（2）图2中，S_{平行四边形ABCD}=4×2=8，可设新构成的等腰直角三角形的直角边长为a，则$\frac{1}{2}{a}^{2}$=8，a=±4，即拼成的新等腰直角三角形的边长为4，由此可作直线l，并注意有两个角是45°，则两个三角形组成一个等腰直角三角形．

解答 解：（1）如图1所示：

由勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$，
AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
BC=$\sqrt{{7}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
∵AC²+AB²=20+45=65，BC²=65，
∴AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$3\sqrt{5}$=15，
tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2}{3}$；

（2）如图2，

过E作直线l⊥CF，交CF于H，将△FHE剪下放在△CGH上，则△DGE是等腰直角三角形；
根据SAS易证明△CGH≌△FEH，且∠CGH=∠FEH=45°，
∵∠DCH+∠GCH=135°+45°=180°，
∴D、C、G三点共线，
∴△DGE是等腰直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理及其逆定理、三角函数和图形的剪拼，熟练掌握三角形和平行四边形的面积及等腰直角三角形的判定是关键，还要注意到已知中的平行四边形的特点．