Question

8．已知，二次函数y=ax²+bx-2的图象经过A（1，0）、B（4，0），且与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式，并求出对称轴；
（2）设△ABC的外接圆的圆心为点D，求点D的坐标；
（3）点E（m，n）在抛物线上，且1＜m＜4，且∠EBC=∠OAC，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（1，0）、点B（4，0），根据待定系数法求得二次函数解析式；
（2）根据不在同一条直线上的三点确定圆的条件，可得答案．
（3）先延长CA，BE，交于点F，根据直线AC：y=2x-2，设F（x，2x-2），再根据△FAB∽FBC，得到FB²=FA•FC，据此列出关于x 方程，求得点F的坐标，最后根据直线BF的解析式以及二次函数解析式，通过解方程组，求得点E的坐标即可．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点A（1，0）、点B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{16a+4b-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）如图1，
BA的中垂线是x=$\frac{1+4}{2}$=$\frac{5}{2}$，
由B（4，0），C（0，-2）得
E点坐标为（2，-1），
设BC的解析式为y=kx+b，将B，C点代入函数解析式，得
y=$\frac{1}{2}$x-2，
DE的解析式为y=-2x+b，将E点坐标代入，得
y=-2x+3，
当x=$\frac{5}{2}$时，y=-2×$\frac{5}{2}$+3=-2，
即D点坐标为（$\frac{5}{2}$，-2）；

（3）如图所示，
延长CA，BE，交于点F，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（1，0）、C（0，-2）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴AC：y=2x-2，
设点F的横坐标为x，则纵坐标为2x-2，即F（x，2x-2），
∵A（1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴BF=$\sqrt{（4-x）^{2}+（2x-2）^{2}}$，AF=$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x-2）^{2}}$，FC=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-2+2）^{2}}$，
∵∠BAF=∠OAC=∠FBC，∠F=∠F，
∴△FAB∽FBC，
∴$\frac{FA}{FB}$=$\frac{FB}{FC}$，即FB²=FA•FC，
∴（$\sqrt{（4-x）^{2}+（2x-2）^{2}}$）²=$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x-2）^{2}}$×$\sqrt{{x}^{2}+（2x-2+2）^{2}}$，
解得x=$\frac{20}{11}$，
∴F（$\frac{20}{11}$，$\frac{18}{11}$），
设直线BF的解析式为y=mx+n，则
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{11}m+n=\frac{18}{11}}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{8}}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是求BC的中垂线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于x的方程，又利用解方程组得出E点坐标．