Question

6．九年级（1）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售的相关信息如下，已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为W（单位：元）

时间x（天）	1	30	60	90
每天销售量p（件）	198	140	80	20

（1）售价y（元）与时间x（天）之间的函数关系式是y=$\left\{\begin{array}{l}{x+40（1≤x≤50，且x为整数）}\\{90（50≤x≤90，且x为整数）}\end{array}\right.$；
（2）求W与x的函数关系式；
（3）销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50≤x≤90时，y=90；
（2）由（1）和结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出W关于x的函数关系式；
（3）根据W关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内W的最大值；当50≤x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内W的最大值，两个最大值作比较即可得出结论．

解答 解：（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，
将（0，40）、（50，90）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=40}\\{50k+b=90}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=40}\end{array}\right.$，
∴此时商品的售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；
当50≤x≤90时，y=90．
∴商品的售价y与时间x的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{x+40（1≤x≤50，且x为整数）}\\{90（50≤x≤90，且x为整数）}\end{array}\right.$．
故答案为：y=$\left\{\begin{array}{l}{x+40（1≤x≤50，且x为整数）}\\{90（50≤x≤90，且x为整数）}\end{array}\right.$．

（2）由数据可猜测：每天的销售量p与时间x成一次函数关系式，
设p=mx+n（m≠0），
将（30，140）、（60，80）代入p=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{60m+n=80}\\{30m+n=140}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=200}\end{array}\right.$，
∴p=-2x+200．
将（1，198）、（90，20）代入，符合关系式，
∴p=-2x+200（1≤x≤90，且x为整数）．
∴W=（y-30）p=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+180x+2000（1≤x≤50，且x为整数）}\\{-120x+12000（50≤x≤90，且x为整数）}\end{array}\right.$．

（3）当1≤x≤50时，W=-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050，
∴当x=45时，W取最大值，最大值为6050；
当50≤x≤90时，W=-120x+12000，
∴当x=50时，W取最大值，最大值为6000．
综上所述：销售该商品第45天时，当天的销售利润最大，最大利润为6050元．

点评 本题考查了一次函数的应用、二次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）分段找出y关于x的函数关系式；（2）根据销售利润=单件利润×销售数量找出W关于x的函数关系式；（3）利用一次（二次）函数的性质解决最值问题．