Question

7．如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3$\sqrt{3}$）．动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，$\sqrt{3}$，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以$\frac{\sqrt{3}}{3}$（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）直接写出过A，B两点的直线解析式是y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；
（2）当t﹦5时，点P的坐标为（0，2$\sqrt{3}$）；当t﹦$\frac{9}{2}$，点P与点E重合；
（3）求在运动过程中使∠FEP=30°的t值；
（4）当t=1时，在坐标平面上是否存在点Q，使得△FEQ∽△BEP（F，E，Q分别与B，E，P对应）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式为y=ax+b，把A与B坐标代入求出a与b的值，即可求出直线AB解析式；
（2）由A与B坐标求出OA与OB的长，根据t=5，确定出P位置，求出P坐标；当P与E重合时列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；
（3）①当点P在线段AO上时，如图1所示，表示出OP与OE，利用锐角三角函数定义求出t的值；②当点P在线段BA上运动时，若∠FEP=30°，且点P在点F的上方时，∠BPE=90°，如图2a所示，利用锐角三角函数定义求出t的值；若∠FEP=30°且点P在点F下方时，如图2b所示，求出此时t的值即可；（4）当t=1时，在坐标平面上存在点Q，使得△FEQ∽△BEP，理由为：根据t=1求出OA，AP，OP，将△BEP绕着E顺时针方向旋转90°，得到△B′EC（如图3），利用相似三角形的性质及对称性质求出Q的坐标即可．

解答 解：（1）设直线AB的解析式是y=ax+b（a≠0），
把A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{0=3a+b}\\{3\sqrt{3}=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{3}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；
（2）∵A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3$\sqrt{3}$），
∴AO=3，OB=3$\sqrt{3}$，
∴t_AO=3÷1=3（秒），t_OB=5-3=2（秒），
∴P（0，2$\sqrt{3}$）；
根据题意得：点P与点E在OB上重合时，有$\frac{\sqrt{3}}{3}$t=$\sqrt{3}$（t-3），
解得：t=$\frac{9}{2}$；
（3）①当点P在线段OA上运动时，如图1所示：

若∠FEP=30°，则∠EPO=30°，
∵OP=3-t，OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴Rt△OEP中，tan30°=$\frac{OE}{OP}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}t}{3-t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$；
②当点P在线段BA上运动时，
若∠FEP=30°，且点P在点F的上方时，∠BPE=90°，如图2a所示：

∵BP=2（t-6）=2t-12，BE=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴cos30°=$\frac{BP}{BE}$=$\frac{2t-12}{3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：t=$\frac{33}{5}$；
若∠FEP=30°且点P在点F下方时，如图2b所示：

∵∠FPE=∠FEP=30°，
∴EF=PF，
tan30°=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{EF}{3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，PF=BP-2EF=2t-12-2EF，
整理得：EF=$\frac{9-t}{3}$，即$\frac{9-t}{3}$=2t-12-$\frac{2（9-t）}{3}$，
解得：t=7；
（4）存在，理由为：
∵t=1，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AP=1，OP=2，
将△BEP绕着E顺时针方向旋转90°，得到△B′EC（如图3），

∵OB⊥EF，
∴B′在直线EF上，C坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$-2），
过F作FQ∥B′C，交EC于点Q，
∴△FEQ∽△B′EC，
由$\frac{BE}{FE}$=$\frac{B′E}{FE}$=$\frac{CE}{QE}$=$\sqrt{3}$，可得Q（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
根据对称性可得：Q关于直线EF的对称点Q′（-$\frac{1}{3}$，$\sqrt{3}$）也满足条件．
故答案为：（1）y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；（2）（0，2$\sqrt{3}$）；$\frac{9}{2}$

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，旋转与对称性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．