Question

2． 如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A（-1，0）he B（3，0）两点，交y轴于点E．
（1）求次抛物线的解析式；
（2）若点D是抛物线上的一点（不与点E重合），且S_△ABD=S_△ABE，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A和B的坐标代入抛物线y=ax²+bx-3得出方程组，解方程组即可；
（2）求出点E的坐标，由A和B的坐标得出AB=4，S_△ABE=6，设点D的坐标为（x，x²-2x-3），分两种情况：①当点D在x轴下方时，由S_△ABD=S_△ABE，得出方程，解方程即可得出结果；②当点D在x轴上方时，由S_△ABD=S_△ABE，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）把A（-1，0和B（3，0）代入抛物线y=ax²+bx-3得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）当x=0时，y=-3，
∴E（0，-3），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=4，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
设点D的坐标为（x，x²-2x-3），
分两种情况：如图所示：
①当点D在x轴下方时，
∵S_△ABD=S_△ABE，
∴$\frac{1}{2}$×4×|x²-2x-3|=6，
解得：x=2，或x=0（不合题意，舍去），
∴x=2，
∴x²-2x-3=-3，
∴D（2，-3）；
②当点D在x轴上方时，
∵S_△ABD=S_△ABE，
∴$\frac{1}{2}$×4×（x²-2x-3）=6，
解得：x=1+$\sqrt{7}$，或x=1-$\sqrt{7}$，
∴点D的坐标为（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）．
综上所述：点D的坐标为（2，-3）或（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的应用、三角形面积的计算等知识；由待定系数法求出二次函数的解析式是解决问题的关键，（2）中需要进行分类讨论，避免漏解．