Question

6．如图所示，∠AOB=30°，角内有点P，PO=10cm，两边上各有一点Q，R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是10．

Answer 1

分析 设点P关于OA的对称点是E，关于OB的对称点是F，当点R、Q在EF上时，△PQR的周长=PQ+QR+PR=EF，此时周长最小．

解答 解：如图，
作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．
则PQ=EQ，PR=RF，
则△PQR的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF．
∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=30°，
∴∠EOF=60°，
又∵OE=OP，OF=OP，
∴OE=OF=10，
即△EOF是等边三角形，
∴EF=OP=10，
所以△PQR的周长的最小值为10．
故答案为：10．

点评 此题考查最短路径问题，关键是根据等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识进行分析．