Question

15．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．
（1）求证：DE=AB．
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求$\widehat{EG}$的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=DC，BC=AD，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可；
（2）连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出$\widehat{EG}$的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC，BC=AD，AD∥BC，
∴∠EAD=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
在△ADE和△FAB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠B=90°}&{\;}\\{∠EAD=∠AFB}&{\;}\\{AD=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FAB（AAS），
∴DE=AB；
（2）解：连接DF，如图所示：
在△DCF和△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=AB}&{\;}\\{∠C=∠B}&{\;}\\{FC=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△ABF（SAS），
∴DF=AF，
∵AF=AD，
∴DF=AF=AD，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∵△ADE≌△FAB，
∴AE=BF=1，
∴DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{EG}$的长=$\frac{30×π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}π}{6}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．