Question

8．如图，抛物线y=ax²+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；
（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S_△PAD=S_△ABM成立，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）易知A（-2，0），C（1，-3），将A、C两点的坐标代入y=ax²+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；
（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么S_△ABM=S_梯形AONB-S_△BMN-S_△AOM，由此可求出△ABM和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．

解答 解：（1）由题意可得：A（-2，0），C（1，-3），
∵抛物线y=ax²+c（a＞0）经过A、C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{a+c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4；

（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD，则BD与y轴的交点即为M点；
设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵B（-1，-3），D（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-3}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=x-2，
当x=0时，y=-2，
∴点M的坐标是（0，-2）；

（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，-3），
∵M（0，-2），B（-1，-3），
∴MN=1，BN=1，ON=3，
∴S_△ABM=S_梯形AONB-S_△BMN-S_△AOM=$\frac{1}{2}$（1+2）×3-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴S_△PAD=S_△ABM=2．
∵S_△PAD=$\frac{1}{2}$AD•|y_P|=2，AD=4，
∴|y_P|=1．
当P点纵坐标为1时，x²-4=1，解得x=±$\sqrt{5}$，
∴P₁（$\sqrt{5}$，1），P₂（-$\sqrt{5}$，1）；
当P点纵坐标为-1时，x²-4=-1，解得x=±$\sqrt{3}$，
∴P₃（$\sqrt{3}$，-1），P₄（-$\sqrt{3}$，-1）；
故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P₁（$\sqrt{5}$，1），P₂（-$\sqrt{5}$，1），P₃（$\sqrt{3}$，-1），P₄（-$\sqrt{3}$，-1）．

点评 此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等．当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．