Question

1．已知点P（2a-12，1-a）位于第三象限，点Q（x，y）位于第二象限且是由点P向上平移一定单位长度得到的．
（1）若y≤x+3，且x为整数，求整数a的值；
（2）若x，y都是整数，且△OPQ的面积小于8，求整数a的值．

Answer 1

分析 （1）先根据点P的位置判断a的取值范围，再根据点Q的位置，判断整数a的取值是否符合题意即可；
（2）先根据点P的位置和点Q的位置，判断a，x和y的取值范围，再根据△OPQ的面积小于8，判断整数a的取值是否符合题意即可．

解答 解：（1）∵点P（2a-12，1-a）位于第三象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-12＜0}\\{1-a＜0}\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜6，
∵a是整数，
∴a=2或3或4或5；
∵点Q（x，y）位于第二象限
∴x＜0，y＞0
当a=2时，P（-8，-1），x+3=-5＜y，不符合题意；
当a=3时，P（-6，-2），x+3=-3＜y，不符合题意；
当a=4时，P（-4，-3），x+3=-1＜y，不符合题意；
当a=5时，P（-2，-4），x+3=1，当0＜y≤1时，符合题意；
综上所述，整数a的值为5；

（2）由（1）可知，a=2或3或4或5
∵点Q（x，y）位于第二象限
∴x＜0，y＞0
∵x，y都是整数，且△OPQ的面积小于8，
∴当a=2时，P（-8，-1），
∵$\frac{1}{2}$×（y+1）×8＜8，
∴y＜1，不是正整数，不合题意；
当a=3时，P（-6，-2），
∵$\frac{1}{2}$×（y+2）×6＜8，
∴y＜$\frac{2}{3}$，不是正整数，不合题意；
当a=4时，P（-4，-3），
∵$\frac{1}{2}$×（y+3）×4＜8，
∴y＜1，不是正整数，不合题意；
当a=5时，P（-2，-4），
∵$\frac{1}{2}$×（y+4）×2＜8，
∴y＜4，即y可以取正整数1，2，3或4，符合题意；
综上所述，整数a的值为5．

点评 本题主要考查了坐标与图形变化，解决问题的关键是根据点P的位置判断出整数a的取值，再进行分类讨论进行求解．注意：在运用分类思想时，要做到不重复不遗漏．