Question

2．如图（1）所示，AB为⊙O直径，点C是弧AB的中点，动点D、E分别从点A、C同时出发，速度都是1个单位/秒，沿线段AC和CB移动，终点为C、B．设运动时间为x秒，△CDE的面积为y，已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图（2）所示．连接OC，当OC=DE时，x=3．

Answer 1

分析 由题意可以得出△ACB为等腰直角三角形，从而可将△CDE的面积用运动时间及AC的长表示出来，结合函数图象提供的数据求出AC的长，再利用勾股定理就能求出x的值了．

解答 解：∵AB为⊙O直径，点C是弧AB的中点，
∴∠C=90°，∠A=∠B=45°，
∴AC=BC，
∵设运动时间为x秒，
∴AD=x，CE=x，
∵设AC长为a，
∴DC=a-x，则y=$\frac{1}{2}$x（a-x），
∵由函数图象可知，当x=2时，y=4，
∴4=$\frac{1}{2}$×2×（a-2），解得a=6，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$
连接OC，如图所示：

∵∠C=90°，∠A=∠B=45°，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∴DE=OC=3$\sqrt{2}$
∴CD²+CE²=（3$\sqrt{2}$）²，即（6-x）²+x²=18，
解得x=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了圆的性质、直角三角形性质、勾股定理及二次函数图象性质，解题的关键是由所给条件得出△ACB为等腰直角三角形，利用函数图象求出AC长，体现了数形结合的数学思想．