Question

设二次函数y=x²+2（cosθ+1）x+cos²θ，（0＜θ≤90°）的图象与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，并且|x₁-x₂|≤2

2

，则θ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,根的判别式,根与系数的关系,锐角三角函数的增减性

专题：数形结合

分析：根据根与系数的关系，建立cosθ与两根的和与积的关系，再将|x₁-x₂|≤2

2

两边平方，得到关于两根积与两根和的关系式，
再将cosθ与两根的和与积的关系式代入求解．

解答：解：∵x₁+x₂=-2（cosθ+1），x₁x₂=cosθ，
又∵|x₁-x₂|≤2

2

，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂≤8，
∴4（cosθ+1）²-4cos²θ≤8，cosθ≤

1

2

，
又∵△=4（cosθ+1）²-4cos²θ＞0，
∴4（2cosθ+1）＞0（0°＜θ≤90°）总成立．
∴cosθ≤

1

2

，
故答案为：60°≤θ≤90°．

点评：此题主要考查了根与系数的关系和抛物线与x轴的交点坐标与两点之间的距离的关系，解答时要考虑cosθ的取值范围．