Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB，OC，点E在线段BC上（点E不与B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 过B作BH⊥OC于H，过E作EM⊥BH于M，由四边形EGHN是矩形，得到EN=HM，根据矩形的性质得到∠A=∠D=90°，AB=CD，证得△ABO≌△CDO，得到OB=OC，推出△BEM≌△BEG，得到BG=EM，等量代换得到BH=EM+EN，由△BCH∽△CDO，得到比例式，即可得到结论．

解答 解：过B作BH⊥OC于H，过E作EG⊥BH于G，
则四边形EGHN是矩形，
∴EN=HM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
∵O是AD的中点，
∴AO=DO，
在△ABO与△CDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠A=∠D}\\{AO=DO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CDO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠GEB=∠OCB，
在△BEM与△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BME=∠EGB}\\{∠MBE=∠GEB}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△BEG，
∴BG=EM，
∴BH=EM+EN，
∵AD∥BC，
∴∠DOC=∠OCB，
∵∠D=∠BHC=90°，
∴△BCH∽△CDO，
∴$\frac{CD}{BH}=\frac{OC}{BC}$，
∵OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴BH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴EM+EN的值为：$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．