Question

11．如图，二次函数y=-x²+4x与一次函数y=$\frac{1}{2}$x的图象相交于点A．
（1）如图1，请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； 
（2）如图2，求点A的坐标；
（3）如图3，连结抛物线的最高点P与点O、A得到△POA，求△POA的面积；
（4）如图4，在抛物线上存在一点M（M与P不重合）使△MOA的面积等于△POA的面积，请求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）用配方法配成顶点式；
（2）联立方程组求交点坐标；
（3）将不特殊图形用割补法求面积；
（4）利用同底等高的方法求出点的坐标．

解答 解：（1）由题意，y=-x²-4x=-（x-2）²-4，
∴二次函数图象的最高点P（2，4），
（2）∵二次函数y=-x²+4x与一次函数y=$\frac{1}{2}$x的图象相交于点A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y={-x}^{2}+4x}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴点A的坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{4}$），
（3）如图1，

作⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B，
∴S_△POA=S_△POQ+S_梯形PQBA-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×OQ×PQ+$\frac{1}{2}$（AB+PQ）×BQ-$\frac{1}{2}$×OB×AB
=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×（$\frac{7}{4}$+4）×（$\frac{7}{2}$-2）-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}×\frac{7}{4}$
=$\frac{21}{4}$；
（4）如图2，①点点M在直线OA上方时，
过P作OA的平行线，交抛物线于M，连接OM，AM，

∴S_△AOM=S_△AOP；
设直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵P（2，4），
∴4=$\frac{1}{2}$×2+b，
∴b=3，
∴直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3①．
∵点M在抛物线y=-x²+4x②的图象上，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
②由①知，直线PM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3．
利用对称性得出另一条满足条件的直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3③，
联立②③得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7+\sqrt{97}}{4}}\\{y=\frac{-17+\sqrt{97}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7-\sqrt{97}}{4}}\\{y=\frac{-17-\sqrt{97}}{8}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{7+\sqrt{97}}{4}$，$\frac{-17+\sqrt{97}}{8}$）或（$\frac{7-\sqrt{97}}{4}$，$\frac{-17-\sqrt{97}}{8}$），
即：满足条件的点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．或（$\frac{7+\sqrt{97}}{4}$，$\frac{-17+\sqrt{97}}{8}$）或（$\frac{7-\sqrt{97}}{4}$，$\frac{-17-\sqrt{97}}{8}$）．

点评 此题是二次函数的综合题，主要考查求图形的交点，用割补法求图形的面积等知识点，解本体的关键是割补法求不特殊图形的面积，难点是同底等高的三角形面积的运用．