Question

2．已知：如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C的坐标是（-2，0）．
（1）请直接写出AB的长度；
（2）现有一动点P从B出发由B向C运动，另一动点Q从A出发由A向B运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，当P运动到C时停止．设从出发起运动了t秒，△APQ的面积为S．
①试求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围？
②问当t为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）先求出A、B坐标，关键勾股定理即可解决问题．
（2）①如图，作QM⊥y轴于点吗，QN⊥x轴于N，由△AMQ∽△AOB，得$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QM}{OB}$=$\frac{AM}{AO}$求出AM，MQ，根据S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PQB即可解决问题．
②i）AP=AQ时，根据AP²=AQ²，列出方程解决问题．
ii）当PA=PQ时，根据PA²=PQ²，列出方程解决问题．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
（2）①如图，作QM⊥y轴于点吗，QN⊥x轴于N，
∵QM∥OB，
∴△AMQ∽△AOB，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{QM}{OB}$=$\frac{AM}{AO}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{QM}{3}$=$\frac{AM}{4}$，
∴QM=$\frac{3}{5}$t，AM=$\frac{4}{5}$t，OM=4-$\frac{4}{5}$t，CP=5-t，
∵四边形ONQM是矩形，
∴QN=OM，MQ=ON，
∴S_△ACP=$\frac{1}{2}$CP•AO=10-2t，S_△QPB=$\frac{1}{2}$PB•QN=2t-$\frac{2}{5}$t²，
∴S=S_△ABC-S_△ACP-S_△PQB=$\frac{2}{5}$t²（0＜t≤5）．
②在RT△APO中，AP²=PO²+AO²=（t-3）²+4²，
由①可知NB=3-$\frac{3}{5}$t，
在RT△PQN中，PN=PB-BN=$\frac{8}{5}$t-3，
∴PQ²=PN²+QN²=（$\frac{8}{5}$t-3）²+（4-$\frac{4}{5}$t）²，
i）当AP=AQ时，AP²=AQ²，即（t-3）²+4²=t²，解得t=$\frac{25}{6}$，
ii）当PA=PQ时，PA²=PQ²，即（t-3）²+4²=（$\frac{8}{5}$t-3）²+（4-$\frac{4}{5}$t）²，解得t=$\frac{50}{11}$或0（舍弃）．
综上所述t=$\frac{25}{6}$或$\frac{50}{11}$时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形．

点评 本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，学会分类讨论，学会把问题转化为方程解决问题，不能漏解，属于中考压轴题．