Question

6．如图，在?ABCD中，点E，F在直线AB上，且AE=AB=BF，连结CE，DF分别交AD，BC于点M，N．
（1）求证：四边形DMNC是平行四边形；
（2）当AM=AB时，求证：?DMNC是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，由平行线分线段成比例定理和已知条件得出AM=DM=$\frac{1}{2}$AD，同理BN=CN=$\frac{1}{2}$BC，得出DM=CN，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出CD=MN，得出MN=AB，证出DM═MN，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∵AE=AB，
∴$\frac{AE}{BW}=\frac{AM}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴AM=DM=$\frac{1}{2}$AD，
同理：BN=CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴DM=CN，
又∵DM∥CN，
∴四边形DMNC是平行四边形；
（2）证明：由（1）得：四边形DMNC是平行四边形，
∴CD=MN，
又∵CD=AB，
∴MN=AB，
∵AM=AB，
∴AM=MN，
∵DM=AM，
∴DM═MN，
∴?DMNC是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明DM=MN是解决（2）的关键．