Question

1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，BD是其一条对角线，AE⊥BD于E，BE=3，DE=2，求平行四边形ABCD的周长？

Answer 1

分析 把△ABE和△ADE分别沿直线AB，AD翻折得到△AMB与△AND，于是得到∠1=∠2，∠2=∠4，由于∠BAD=45°，得到∠MAN=90°，延长MB，NB交于F，得到四边形AMFN是正方形，设AM=x，则BF=x-3，DF=x-2，根据勾股定理得到BD²=BF²+DF²，列方程求得AM=6，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{3}}$=3$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，即可得到结论．

解答 解：把△ABE和△ADE分别沿直线AB，AD翻折得到△AMB与△AND，
∴∠1=∠2，∠2=∠4，∵∠BAD=45°，
∴∠MAN=90°，
延长MB，NB交于F，
∴四边形AMFN是正方形，设AM=x，则BF=x-3，DF=x-2，∵BD²=BF²+DF²，
∴5²=（x-3）²+（x-2）²，
∴x=6，（负值舍去），
∴AM=6，
∴AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{3}}$=3$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴平行四边形ABCD的周长=6$\sqrt{5}$+4$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，翻折的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．