Question

5．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC=∠CFE．

Answer 1

分析 （1）根据∠ACB=90°求出∠B+∠BCD=90°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠CDB=90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠AEC+∠CAE=90°，∠FAD+∠AFD=90°，再根据角平分线的定义可得∠CAE=∠FAD，再根据对顶角相等可得∠CFE=∠AFD，然后等量代换即可得证．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠B=∠ACD，
∴∠B+∠BCD=90°，
又∵∠CDB+∠B+∠BCD=180°，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥AB；

（2）在△ACE中，∠AEC+∠CAE=90°，
在△AFD中，∠FAD+∠AFD=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠FAD，
∴∠AEC=∠AFD，
又∵∠CFE=∠AFD，
∴∠AEC=∠CFE．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，对顶角相等的性质，熟记定理与性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．