题目内容
【题目】在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点。四边形BCGF和CDHN都是正方形。AE的中点是M，FH的中点是P。
（1）如图1，点A、C、E在同一条直线上，根据图形填空：
①△BMF是__________三角形；
②MP与FH的位置关系是___________；MP与FH的数量关系是____________；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，解答下列问题：
①证明：△BMF是等腰三角形；
②（1）中得到的MP与FH的位置关系和数量关系是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，（2）中的三个结论还成立吗？（成立的不需要说明理由，不成立的需要说明理由）
【答案】 等腰直角 MP⊥FH MP=
FH
【解析】整体分析：
（1）①②由正方形的性质直接得到结论；（2）连接MH、MD，设FM与AC交于点Q，证明△FBM≌△MDH，判断△FMH是等腰直角三角形；（3）由（2）的证明可直接到得结论.
解：（1）①等腰直角；②MP⊥FH，MP=
FH；
（2）①∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MB∥CD，且MB=CD=BC = BF，
∴△BMF是等腰三角形；
②仍然成立．证明如下：
如图，连接MH、MD，设FM与AC交于点Q．
由①可知MB∥CD，MB=CD，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM．
又∵∠FBQ=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH，
∴△FBM≌△MDH，∴FM=MH，∠MFB=∠HMD，
∴∠FMH=∠FMD－∠HMD=∠AQM－∠MFB=∠FBC=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．
∵P是FH的中点，∴MP⊥FH，MP=
FH；
（3）△BMF不是等腰三角形，理由如下：
∵MB=CD，CD≠BC，∴MB≠BF，且∠FBM＞90°；
MP⊥FH仍然成立，MP=
FH仍然成立．
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