Question

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD．
求证：BD=2CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：延长BA和CE交于点M，首先证明△BME≌△BCE可得EM=EC=

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MC，再证明△ABD≌△ACM可得DB=MC，利用等量代换可得BD=2CE．

解答：证明：延长BA和CE交于点M，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=∠BEM=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠MBE=∠CBE，
在△BME和△BCE中

∠CBE=∠MBE BE=BE ∠BEM=∠BEC

，
∴△BME≌△BCE（ASA），
∴EM=EC=

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MC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠MAC=90°，BA=AC，
∴∠ABD+∠BDA=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠ACM+∠CBE=90°，
∵∠BDA=∠EDC，
∴∠ABE=∠ACM，
在△ABD和△ACM中

∠ABD=∠ACM AB=AC ∠BAC=∠MAC

，
∴△ABD≌△ACM（ASA），
∴DB=MC，
∴BD=2CE．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是正确证明EM=EC=

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MC和DB=MC．