Question

4．在Rt△ABC中，AC=3，AB=4，D为斜边BC中点，E为AB上一个动点，将△ABC沿直线DE折叠，A、C的对应点分别为A′、C′，EA′交BC于点F，若△BEF为直角三角形，则BE的长度为$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根据∠B为锐角，分两种情况进行讨论：当∠BEF=90°时，△BEF为直角三角形；当∠BFE=90°时，△BEF为直角三角形，分别根据等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，轴对称的性质以及直角三角形的边角关系进行计算，即可得到BE的长度．

解答 解：分两种情况：
①如图，当∠BEF=90°时，△BEF为直角三角形，
过D作DM⊥AB于M，则∠EMD=90°，DM∥AC，

∵D为BC的中点，
∴M为AB的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=2，DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
由折叠可得，∠MED=$\frac{1}{2}$∠AEF=45°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴EM=DM=$\frac{3}{2}$，
∴BE=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$；

②如图，当∠BFE=90°时，△BEF为直角三角形，
连接AD，A'D，

根据对称性可得，∠EAD=∠DA'D，AD=A'D
∵Rt△ABC中，AC=3，AB=4，
∴BC=5，
∵Rt△ABC中，D为BC的中点，
∴AD=BD=A'D=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∴∠B=∠EAD，
∴∠B=∠FA'D，
设BE=x，则BF=BE×cosB=$\frac{4}{5}$x，
∴DF=BD-BF=$\frac{5}{2}$-$\frac{4}{5}$x，
又∵Rt△A'DF中，sin∠FA'D=sinB，即$\frac{DF}{A'D}$=$\frac{3}{5}$
∴$\frac{\frac{5}{2}-\frac{4}{5}x}{\frac{5}{2}}=\frac{3}{5}$，
解得x=$\frac{5}{4}$，
即BE=$\frac{5}{4}$，
综上所述，BE的长度为$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，直角三角形的性质，三角形中位线定理，轴对称的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是依据△BEF为直角三角形，画出图形进行分类讨论．