Question

如图，在锐角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与A，B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG。

（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；
（2）设DE=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值。

Answer 1

解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M ∵S△ABC=48，BC=12， ∴AM=8 ∵DE∥BC，△ADE∽△ABC ∴ 而AN=AM-MN=AM-DE ∴ 解之得 ∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8。
（2）分两种情况： ①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2）， △ABC 与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积， ∵DE=x， ∴，此时x的范围是0＜x≤4.8。
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图（3）， 设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P， △ABC的高AM交DE于N， ∵DE=x，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC 即 而AN=AM-MN=AM-EP ∴ 解得 所以 即 由题意，x>4.8，x＜12， 所以 因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 当0＜x≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04 当时，因为 所以当时 △ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为 因为24>23.04， 所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24。