Question

7．在△ABC中，∠A=∠C，点E在BC边上，过点E作射线EF∥AB交AC于点F，EM交AC于点M，点N在射线EF上，且∠EMN=∠ENM，设∠ABC=α，∠MEN=β．
（1）如图1，若点M在线段AF上，α=80°，β=30°，求∠FMN的度数；
（2）若点M在AC边上（不与点A、C、F重合），α、β为任意角度，探究∠FMN与α、β的数量关系，请在图2中画出图形，然后直接写出答案．

Answer 1

分析 （1）根据平行线得出∠FEC=∠B=80°，根据三角形内角和定理求出∠A、∠C，求出∠EMN和∠EMC，即可求出答案；
（2）分为两种情况：①当点M在AF上时，根据平行线得出∠FEC=∠B=α，根据三角形内角和定理求出∠C，根据三角形内角和定理求出∠EMN和∠EMC，即可求出答案；②当点M在CF上时，由①得出∠C=$\frac{1}{2}$（180°-α），∠EMN=90°-$\frac{1}{2}$β，代入∠FMN+∠EMN=∠MEC+∠C得出∠FMN+90°-$\frac{1}{2}$β=α-β+$\frac{1}{2}$（180°-α），即可求出答案．

解答 解：（1）∵EF∥AB，
∴∠B=∠FEC=80°，∠A=∠EFC，
∵∠A=∠C，
∴∠C=∠A=$\frac{1}{2}$（180°-∠FEC）=50°，
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠A=50°．
∵∠MEF=β=30°，
∴∠EMN=∠ENM=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，∠EMF=∠EFC-∠MEF=50°-30°=20°．
∴∠FMN=∠EMN-∠EMF=75°-20°=55°；

（2）①当点M在AF上时，∠FMN=$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$β，
如图1，∵EF∥AB，
∴∠FEC=∠B=α，
∵∠A=∠C，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∵∠EMN=∠ENM，
∴∠EMN=$\frac{1}{2}$（180°-β）=90°-$\frac{1}{2}$β，
∠MEC=∠FEC+∠MEN=α+β，
∴∠EMC=180°-∠MEC-∠C
=180°-（α+β）-$\frac{1}{2}$（180°-α）
=90°-$\frac{1}{2}$α-β，
∴∠FMN=∠EMN-∠EMC
=（90°-$\frac{1}{2}$β）-（90°-$\frac{1}{2}$α-β）=$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$β；
②当点M在CF上时，∠FMN=$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β，
理由是：如图3，由①得：∠C=$\frac{1}{2}$（180°-α），∠EMN=90°-$\frac{1}{2}$β，
∠FMN+∠EMN=∠MEC+∠C，
即∠FMN+90°-$\frac{1}{2}$β=α-β+$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴∠FMN=$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β．

点评 本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理和三角形外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．