Question

18．如图，⊙O的直径AB=10，CD是⊙O的弦，AC与BD相交于点P．
（1）判断△APB与△DPC是否相似？并说明理由；
（2）若CE⊥BD于E，且PE：EC=3：4，求弦CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠D=∠A，∠DCA=∠B，由相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，设PE=3x，CE=4x，根据勾股定理得到PC=5x，由三角函数的定义得到cos∠BPC=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{3}{5}$，求得cos∠BPC=$\frac{PC}{PB}$=$\frac{3}{5}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）△APB与△DPC相似，
∵∠D=∠A，∠DCA=∠B，
∴△APB∽△DPC；

（2）连接BC，∵CE⊥BD于E，且PE：EC=3：4，
∴设PE=3x，CE=4x，
∴PC=5x，
∴cos∠BPC=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{3}{5}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠PCB=90°，
∴cos∠BPC=$\frac{PC}{PB}$=$\frac{3}{5}$，
∵△APB∽△CDP，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{PC}{PB}$=$\frac{3}{5}$，
∵AB=10，
∴CD=6．

点评 该题主要考查了圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质等重要数学知识点及其应用问题；牢固掌握定理是基础，科学解答是关键；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．