题目内容
【题目】如图
，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交BC于点D．tan∠OAD=2，抛物线
过A，D两点．
（）求点D的坐标和抛物线M1的表达式．
（
）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有满足条件的点P的坐标．
（
）如图，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m(m>0)个单位得到抛物线M2．
①设点D平移后的对应点为点D'，当点D'恰好落在直线AE上时，求m的值．
②当
时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．
【答案】（1）D（1，6），抛物线M1的表达式为y＝﹣2x2+8x；（2）（2，3+
），（2，3﹣）；（3）①m＝3，②2+
≤m＜
【解析】
（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA＝90°，可得PC2+PA2＝AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2＝42+62，解方程即可；
（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x＝m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．
解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．
∵四边形CDHO是矩形，
∴OC＝DH＝6，
∵tan∠DAH＝
＝2，
∴AH＝3，
∵OA＝4，
∴CD＝OH＝1，
∴D（1，6），
把D（1，6），A（4，0）代入y＝ax2+bx中，则有
，
解得
，
∴抛物线M1的表达式为y＝﹣2x2+8x．
（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．
∵∠CPA＝90°，
∴PC2+PA2＝AC2，
∴22+（m﹣6）2+22+m2＝42+62，
解得m＝3±，
∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．
（3）①如图2中，
易知直线AE的解析式为y＝﹣x+4，
x＝1时，y＝3，
∴D′（1，3），
平移后的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+8x﹣m，
把点D′坐标代入可得3＝﹣2+8﹣m，
∴m＝3．
②由
，消去y得到2x2﹣9x+4+m＝0，
当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0，
∴92﹣4×2×（4+m）＞0，
∴m＜，
当x＝m时，﹣m+4＝﹣2m2+8m﹣m，解得m＝2+或2﹣（舍去），
综上所述，当2+≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．
