题目内容
【题目】如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.
(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM.
①求∠CAM的度数;
②当FH=,DM=4时,求DH的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)结论:成立.理由见解析;(3)①30°,②1+.
【解析】
(1)只要证明AB=ED,AB∥ED即可解决问题;(2)成立.如图2中,过点M作MG∥DE交CE于G.由四边形DMGE是平行四边形,推出ED=GM,且ED∥GM,由(1)可知AB=GM,AB∥GM,可知AB∥DE,AB=DE,即可推出四边形ABDE是平行四边形;
(3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,只要证明MI=AM,MI⊥AC,即可解决问题;②设DH=x,则AH= x,AD=2x,推出AM=4+2x,BH=4+2x,由四边形ABDE是平行四边形,推出DF∥AB,推出 ,可得,解方程即可;
(1)证明:如图1中,
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠ABM,
∵CE∥AM,
∴∠ECD=∠ADB,
∵AM是△ABC的中线,且D与M重合,
∴BD=DC,
∴△ABD≌△EDC,
∴AB=ED,∵AB∥ED,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)结论:成立.理由如下:
如图2中,过点M作MG∥DE交CE于G.
∵CE∥AM,
∴四边形DMGE是平行四边形,
∴ED=GM,且ED∥GM,
由(1)可知AB=GM,AB∥GM,
∴AB∥DE,AB=DE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,
∵BM=MC,
∴MI是△BHC的中位线,
∴MI∥BH,MI=BH,
∵BH⊥AC,且BH=AM.
∴MI=AM,MI⊥AC,
∴∠CAM=30°.
②设DH=x,则AH=x,AD=2x,
∴AM=4+2x,
∴BH=4+2x,
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴DF∥AB,
∴,
∴,
解得x=1+或1﹣(舍弃),
∴DH=1+.