题目内容
4．
如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：
①⊙D的半径为2$\sqrt{5}$（结果保留根号）；
②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
③若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．
分析 （1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D，连接AD，CD；
（2）①根据第一问画出的图形即可得出C及D的坐标；
②在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；
③直线CE与圆O的位置关系是相切，理由为：由圆的半径得出DC的长，在直角三角形CEF中，由CF及FE的长，利用勾股定理求出CE的长，再由DE的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形DCE为直角三角形，即EC垂直于DC，可得出直线CE为圆O的切线．
解答 解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：
（2）①在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，
根据勾股定理得：AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
则⊙D的半径为2$\sqrt{5}$；
②AC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，CD=2$\sqrt{5}$，
AD2+CD2=AC2，
∴∠ADC=90°．
扇形ADC的弧长=$\frac{90π×2\sqrt{5}}{180}$=$\sqrt{5}$π，
圆锥的底面的半径=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
③直线EC与⊙D的位置关系为相切，
理由为：在Rt△CEF中，CF=2，EF=1，
根据勾股定理得：CE=$\sqrt{C{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在△CDE中，CD=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{5}$，DE=5，
∵CE2+CD2=（$\sqrt{5}$）2+（2$\sqrt{5}$）2=5+20=25，DE2=25，
∴CE2+CD2=DE2，
∴△CDE为直角三角形，即∠DCE=90°，
则CE与圆D相切．
点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，切线的判定，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
| A． | 锐角三角形 | B． | 直角三角形 | C． | 钝角三角形 | D． | 等腰三角形 |
如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．