Question

19．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=68°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=8，AC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，又由OD∥BC，可求得∠AEO的度数，然后求得∠CAB的度数，继而求得答案；
（2）由勾股定理，首先求得BC的长，然后由三角形中位线的性质，求得OE的长，继而求得答案．

解答 解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°-∠B=90°-68°=22°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO=$\frac{180°-∠AOD}{2}$═56°
∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=56°-22°=34°；

（2）在直角△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{8^2}-{6^2}}$=2$\sqrt{7}$．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{7}$，
又∵OD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴DE=OD-OE=4-$\sqrt{7}$．

点评 此题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意掌握直径对的圆周角是直角是解此题的关键．