Question

9．已知抛物线y=（x-m）²-（x-m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

Answer 1

分析 （1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1＞0，于是根据△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①根据对称轴方程得到=-$\frac{-（2m+1）}{2}$=$\frac{5}{2}$，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；
②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x²-5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△=5²-4（6+k）=0，
然后解关于k的方程即可．

解答 （1）证明：y=（x-m）²-（x-m）=x²-（2m+1）x+m²+m，
∵△=（2m+1）²-4（m²+m）=1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x=-$\frac{-（2m+1）}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴m=2，
∴抛物线解析式为y=x²-5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x²-5x+6+k，
∵抛物线y=x²-5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△=5²-4（6+k）=0，
∴k=$\frac{1}{4}$，
即把该抛物线沿y轴向上平移$\frac{1}{4}$个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．