题目内容
20．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；
（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）
分析 （1）AE+BF=AB，可证明△CBF≌△CAD和△CDB≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论；
（2）BF-AE=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论；
（3）AE-BF=AB，由△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE分别得到AD=BF，BD=AE，易得结论．
解答 解：（1）AE+BF=AB，如图1，
∵△ABC和△DCF是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°．
∴∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴AD=BF
同理：△CBD≌△CAE（SAS）
∴BD=AE
∴AE+BF=BD+AD=AB；
（2）BF-AE=AB，
如图2，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF-AE=AD-BD=AB；
（3）AE-BF=AB，
如图3，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF-AE=AD-BD=AB．
点评 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，灵活运用类比思想，在变化中发现不变是解决问题的关键．
练习册系列答案
活力课时同步练习册系列答案
相关题目
11．
南水北调工程中线已经在12月27日开始向北京、天津等地供水．为了进一步加强居民的节水意识，合理调配水资源，某区决定对本区的居民用水实行额定用水管理．为了更好的确定额定用水的用水量，首先对本区居民的目前生活用水量进行了入户调查．下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）．
4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7
4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5
3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2
5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5
4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5
（1）请你将调查数据进行如下整理：
频数分布表
（2）结合整理的数据完成频数分布直方图，通过观察直方图你可以得到哪些信息？请你写出你得到的信息．
（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定多少吨？
南水北调工程中线已经在12月27日开始向北京、天津等地供水．为了进一步加强居民的节水意识，合理调配水资源，某区决定对本区的居民用水实行额定用水管理．为了更好的确定额定用水的用水量，首先对本区居民的目前生活用水量进行了入户调查．下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）．4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7
4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5
3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2
5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5
4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5
（1）请你将调查数据进行如下整理：
频数分布表
| 分组 | 划记（用正字划记） | 频数 |
| 2.0＜x≤3.5 | ||
| 3.5＜x≤5.0 | ||
| 5.0＜x≤6.5 | ||
| 6.5＜x≤8.0 | ||
| 8.0＜x≤9.5 | ||
| 合计 |
（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定多少吨？
如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．