Question

如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的四个顶点坐标为A（0，6）、B（-3，0）、C（0，-2）、D（4，0），P为AB、DC延长线的交点．
（1）求直线AB、CD对应的函数解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）求证：△PCB∽△PDA；
（4）求S_△PBC．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据已知点的坐标利用待定系数法求得直线的解析式即可；
（2）联立两个函数的解析式组成方程组，求得方程组的解即可作为点的横纵坐标；
（4）作PM⊥x轴于M点，PN⊥y轴于点N，利用S_△PBC=S_矩形MPNO-S_△MBP-S_△NPC-S_△BOC求解即可．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（0，6）、B（-3，0），
∴

b=6 -3k+b=0

，
解得：

k=2 b=6

，
∴直线AB的解析式为y=2x+6；
设直线CD的解析式为y=mx+n，
∵C（0，-2）、D（4，0），
∴

n=-2 4m+n=0

解得：

m= 1 2 n=-2

，
∴直线CD的解析式为y=

1

2

x-2；

（2）由题意得：

y=2x+6 y= 1 2 x-2

，
解得：

x=- 16 3 y=- 14 3

，
∴点P的坐标为（-

16

3

，-

14

3

）；

（3）∵A（0，6）、B（-3，0）、C（0，-2）、D（4，0），
∴OA=6，OB=3，OC=2，OD=4，
∴

OC

OB

=

OD

OA

，
∴BC∥AD，
∴△PCB∽△PDA；

（4）作PM⊥x轴于M点，PN⊥y轴于点N，
∴S_△PBC=S_矩形MPNO-S_△MBP-S_△NPC-S_△BOC
=MP•NP-

1

2

MB•NP-

1

2

NC•PN-

1

2

OB•OC
=

14

3

×

16

3

-

1

2

×

7

3

×

14

3

-

1

2

×

8

3

×

16

3

-

1

2

×3×2
=

84

9

．

点评：本题考查了一次函数的综合知识，特别是题目中涉及的将点的坐标转化为线段的长，是解决本题的关键，难度较大．