Question

已知抛物线y=-

3

4

x²+

15

4

x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：根据抛物线解析式求出A，B，C坐标，确定出直线AC解析式，当一条直线与直线AC平行，且与抛物线只有一个交点D时，三角形ACD面积最大，设出直线解析式，与抛物线解析式联立消去y，得到关于x的一元二次方程，且根的判别式等于0，求出m的值，即可确定出此时D的坐标．

解答：解：对于抛物线y=-

3

4

x²+

15

4

x-3，
令y=0，得到-

3

4

x²+

15

4

x-3=0，
解得：x=1或x=4，
∴B（1，0），A（4，0），
令x=0，得到y=-3，即C（0，-3），
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A与C坐标代入得：

4k+b=0 b=-3

，
解得：k=

3

4

，b=-3，
∴直线AC解析式为y=

3

4

x-3，
设平行于直线AC，且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=

3

4

x+m，
此时直线与抛物线交于点D，使得△ACD的面积最大，
与二次函数解析式联立消去y得：-

3

4

x²+

15

4

x-3=

3

4

x+m，
整理得：3x²-12x+4m+12=0，
∴△=144-12（4m+12）=0，
解得：m=0，
∴此时直线方程为y=

3

4

x，点D坐标为（2，

3

4

）．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，两直线平行时斜率满足的关系，解题的关键是：“平行于直线AC，且与抛物线只有一个交点的直线方程与抛物线交点为D，使得△ACD的面积最大”．