题目内容

如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限，四边形OABC是矩形，OA=8，OC=6．反比例函数y1=
k
x
（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，BE=3CE．
（1）求k的值和点D的坐标；
（2）设直线DE的解析式为y2=mx+n，求m和n的值，并根据图象写出不等式
k
x
＜mx+n的解集；
（3）连接OE、OD，在线段OA上是否存在点P，使得△EDP∽△PDA？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）先根据题意得到点E的坐标为（2，6），根据待定系数法可得k的值，再根据点D的横坐标为8，且也在反比例函数上，代入反比例函数得到D坐标；
（2）根据待定系数法得到方程组，得到m和n的值，再根据图象写出不等式
k
x
＜mx+n的解集；
（3）设所求点P坐标为（a，0），其中0＜a＜8，可得PA=8-a，ED=
(8-2)2+(6-
3
2
)2
=
15
2
，PD=
(8-a)2+(
3
2
)2
，DA=
3
2
，再根据相似三角形对应线段成比例得到关于a的方程，解方程即可求解．
解答：解：（1）已知BC=OA=8，BE=3CE，
那么BE=6，CE=2，
所以点E的坐标为（2，6），
点E在反比例函数上，代入得到k=12，
函数方程为y1=
12
x
，
点D的横坐标为8，且也在反比例函数上，代入反比例函数得到D坐标为（8，
3
2
）；

（2）将已求得的两点D，E的坐标值代入所求直线方程得到
2m+n=6
8m+n=
3
2

解得
m=-
3
4
n=
15
2
．
故所求不等式为
12
x
＜-
3
4
x+
15
2
，不等式解集为2＜x＜8；

（3）设所求点P坐标为（a，0），其中0＜a＜8，
∵△EDP∽△PDA，PA=8-a，ED=
(8-2)2+(6-
3
2
)2
=
15
2
，PD=
(8-a)2+(
3
2
)2
，DA=
3
2
，
∴ED：PD=DP：DA，
∴
15
2
：
(8-a)2+(
3
2
)2
=
(8-a)2+(
3
2
)2
：
3
2

解得a=5或11（不合题意）．
故满足条件的点P坐标为（5，0）．
点评：考查了反比例函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求反比例函数，一次函数，根据图象求不等式的解集，相似三角形的性质，两点间的距离公式，方程思想的运用．
练习册系列答案
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．
下列运算正确的是（　　）
A、（2a）2=2a2
B、2a+3a=5a
C、a2•a3=a6
D、﹙a2﹚3=a5
解下列方程
（1）
x
x-3
=
x+1
x-1
；
（2）
2
3x-1
-1=
3
6x-2
．
如图，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，说明：BC=DE．
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（1）若4m=3，16n=11，求43m-2n的值．
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动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．（写出说理过程）
探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图（3））呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：
 
．

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