Question

2．已知矩形ABCD对角线AC，BD交于点O，点P为BC边上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，∠AOD=120°，AC=8，求PE+PF的值．

Answer 1

分析 先证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA=OB=4，由勾股定理求出BC，由△OBC面积=△OBP的面积+△COP的面积=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积，即可得出结果．

解答 解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB，△OBC面积=$\frac{1}{4}$矩形ABCD的面积，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB时等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，
∴BC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵△OBC的面积=△OBP的面积+△COP的面积
=$\frac{1}{2}$OB•PF+$\frac{1}{2}$OC•PE=$\frac{1}{2}$OB（PE+PF）=$\frac{1}{4}$AB×BC，
即$\frac{1}{2}$×4×（PE+PF）=$\frac{1}{4}$×4×4$\sqrt{3}$，
∴PE+PF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积和矩形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．