Question

2．如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的长；
（3）求证：AF+2DF=AB．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠ACB=∠D，根据角平分线的性质得到∠BAC=∠CAD，通过相似三角形得到∠ABC=∠ACD，等量代换得到∠OCB=∠ACD，求出∠OCD=90°，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=10，根据相似三角形的性质得到$\frac{OE}{AE}=\frac{OC}{AD}$，代入数据得到r=$\frac{15}{4}$，于是得到结论；
（3）过C作 CG⊥AE于G，根据全等三角形的性质得到AG=AD，CG=CD，推出Rt△BCG≌Rt△FCD，由全等三角形的性质得到BG=FD，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AF，
∴∠D=90°，
∴∠ACB=∠D，
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠ABC=∠ACD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠ACD，
∵∠OCB+∠ACO=∠ACO+∠ACD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵AD=6，DE=8，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=10，
∵OC∥AD，
∴∠OCE=∠ADE，
∴△OCE∽△ADE，
∴$\frac{OE}{AE}=\frac{OC}{AD}$，
即$\frac{10-r}{10}=\frac{r}{6}$，
∴r=$\frac{15}{4}$，
∴BE=10-$\frac{15}{2}$=$\frac{5}{2}$；

（3）过C作 CG⊥AE于G，
在△ACG与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAC=∠DAC}\\{∠CGA=∠CDA}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△ACD，
∴AG=AD，CG=CD，
∵BC=CF，
在Rt△BCG与Rt△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{BC=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCG≌Rt△FCD，
∴BG=FD，
∴AF+2DF=AD+DF=AG+GB=AB，
即AF+2DF=AB．

点评 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．