Question

4．如图，矩形ABCD的边长AB=2，AD=4，函数y=$\frac{k}{x}$（ k＞0，x＞0）的图象经过点 A（2，3）和点C．
（1）求矩形ABCD的周长等于12；
（2）OB延长线交AC于点M，求点M的坐标；
（3）若P为函数y=$\frac{k}{x}$（ k＞0，x＞0）的图象上一个动点，过点P作直线l⊥x轴，交直线AD于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为t，当PN=2PM时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据根据正方形的性质计算；
（2）根据矩形的性质分别求出点B的坐标和点C的坐标，利用待定系数法求出直线OB的解析式、直线AC的解析式，解方程组即可；
（3）分点P在AD、BC之间、点P在AD上方两种情况，根据矩形的性质、反比例函数的解析式解答即可．

解答 解：（1）∵矩形ABCD的边长AB=2，AD=4，
∴矩形ABCD的周长=2（2+4）=12，
故答案为：12；
（2）由题意得，点B的坐标为（2，1），点C的坐标为（6，1），
设直线OB的解析式为：y=kx，直线AC的解析式为：y=ax+b，
则2k=1，$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{6a+b=1}\end{array}\right.$，
解得，k=$\frac{1}{2}$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线OB的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x，直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（4，2）；
（3）∵函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点 A（2，3），
∴k=6，即反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$，
当点P在AD、BC之间时，
∵PN=2PM，AB=2，
∴PN=$\frac{4}{3}$，
∴点P的纵坐标是$\frac{7}{3}$，即$\frac{7}{3}$=$\frac{6}{t}$，
解得，t=$\frac{18}{7}$；
当点P在AD上方时，
∵PN=2PM，AB=2，
∴PN=4，
∴点P的纵坐标是5，即5=$\frac{6}{t}$，
解得，t=$\frac{6}{5}$，
∴当PN=2PM时，t的值为$\frac{18}{7}$或$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查的反比例函数的图象上点的坐标特征、矩形的性质以及待定系数法求函数解析式的一般步骤，掌握反比例函数的性质、矩形的性质是解题的关键．