Question

4．【问题情境】如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
【结论运用】如图2，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
【迁移拓展】图3是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，
ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=8，AD=3，BD=7；M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

Answer 1

分析 【问题情境】连接AP，如图1，只需运用面积法（S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP）即可解决问题．
【结论运用】易证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，如图2，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可．
【迁移拓展】如图3，由条件AD•CE=DE•BC联想到三角形相似，从而得到∠A=∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM与△CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是△ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解决问题．

解答 【问题情境】证明：连接AP，如图1，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
且S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP，
∴AB•CF=AB•PD+AC•PE．
∵AB=AC，∴CF=PD+PE；

【结论运用】解：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．
∵AD=8，CF=3，
∴BF=BC-CF=AD-CF=5．
由折叠可得：DF=BF=5，∠BEF=∠DEF．
∵∠C=90°，∴DC=$\sqrt{D{F}^{2}-F{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ=DC=4．
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．
∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠EFB．
∴BE=BF．
由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．
∴PG+PH=4．
即PG+PH的值为4；

【迁移拓展】解：延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图3．
∵ED⊥AD，EC⊥CB，
∴∠ADE=∠BCE=90°．
又∵AD•CE=DE•BC，即$\frac{AD}{DE}$=$\frac{BC}{CE}$，
∴△ADE∽△BCE，
∴∠A=∠CBE，
∴FA=FB．
由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH．
设DH=x，则AH=AD+DH=（3+x）．
∵BH⊥AF，
∴∠BHA=90°．
∴BH²=BD²-DH²=AB²-AH²．
∵AB=8，AD=3，BD=7，
∴7²-x²=8²-（3+x）²．
解得：x=1．
∴BH²=BD²-DH²=49-1=48，
∴BH=4$\sqrt{3}$，
∴ED+EC=BH=4$\sqrt{3}$．
∵∠ADE=∠BCE=90°，
且M、N分别为AE、BE的中点，
∴DM=AM=EM=AE，CN=BN=EN=BE．
∴△DEM与△CEN的周长之和
=DE+DM+EM+CN+EN+EC
=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC
=DE+EC+AB=8+4$\sqrt{3}$．
即△DEM与△CEN的周长之和为8+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．