Question

7．如图1，⊙O的直径AB为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：△ABC∽△PDC；
（2）如图2，当点P到达B点时，求CD的长；
（3）设CD的长为x．在点P的运动过程中，x的取值范围为2$\sqrt{3}$≤x≤4$\sqrt{3}$（请直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等的三角形相似即可证明；
（2）由△ABC∽△PDC，可得∠D=∠ABC=30°，由此即可解决问题；
（3）由△ABC∽△PDC．可得$\frac{PC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出CD=$\sqrt{3}$PC，由PC的最小值为2，最大值为直径4，即可推出CD的最小值为2$\sqrt{3}$，CD的最大值为4$\sqrt{3}$；

解答 （1）证明：如图1中，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
又∵∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC．

（2）解：如图2中，

∵∠ABC=30°，AB=4，
∴BC=$2\sqrt{3}$，
∵△ABC∽△PDC，
∴∠D=∠ABC=30°，
∴CD=6．

（3）∵△ABC∽△PDC．
∴$\frac{PC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$PC，
∵PC的最小值为2，最大值为直径4，
∴CD的最小值为2$\sqrt{3}$，CD的最大值为4$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$≤x≤4$\sqrt{3}$，
故答案为2$\sqrt{3}$≤x≤4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的条件解决问题，学会利用圆中是最长的弦解决最值问题，属于中考常考题型．