Question

6．P是正方形ABCD的BC边上一点，连结AP，AB=8，BP=3，Q是线段AP上一动点，连结BQ并延长交四边形ABCD的一边于点R，若点Q是BR的三等分点，则AR的长为$\frac{3}{2}$或6或$\frac{8\sqrt{13}}{3}$．

Answer 1

分析 分三种情形：①如图1中，当BQ₁=2Q₁R₁时，②如图1中，当Q₂R₂=2BQ₂时，③如图2中，当点R₃在CD上时，R₃Q₃=2BQ₃，作R₃M⊥AB于M，交AP于N．分别利用平行线的性质，勾股定理等知识即可解决．

解答 解：如图1中，①当BQ₁=2Q₁R₁时，
∵AD∥BC，
∴$\frac{A{R}_{1}}{PB}$=$\frac{{Q}_{1}{R}_{1}}{B{Q}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，∵PB=3，
∴AR₁=$\frac{3}{2}$，
②当Q₂R₂=2BQ₂时，
∵AR₂∥PB，
∴$\frac{A{R}_{2}}{PB}$=$\frac{{Q}_{2}{R}_{2}}{B{Q}_{2}}$=2，
∴AR₂=6．
③如图2中，当点R₃在CD上时，R₃Q₃=2BQ₃，作R₃M⊥AB于M，交AP于N．
∵R₃N∥PB，
∴$\frac{{R}_{3}N}{PB}$=$\frac{{R}_{3}{Q}_{3}}{B{Q}_{3}}$=2，
∴NR₃=6，MN=MR₃=AD=8-6=2，
∵MN∥PB，
∴$\frac{MN}{PB}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴AM=$\frac{16}{3}$，
在RT△AMR₃中，AR₃=$\sqrt{A{M}^{2}+M{{R}_{3}}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+{8}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{3}$．
故答案为$\frac{3}{2}$或6或$\frac{8\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．