Question

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2cm，BC=6cm，AB=7cm，点P是从点B出发在射线BA上的一个动点，运动的速度是1cm/s，连结PC、PD．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 设AP=x，则BP=7-x，分两种情况：①当$\frac{AP}{AD}=\frac{BP}{BC}$时；②当$\frac{AP}{AD}=\frac{BC}{BP}$时；③当P点在A点左侧时还有二种情况，分别得出x的方程，解方程得出AP的长，即可得出结果．

解答 解：AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠PAD+∠ABC=180°，
∴∠PAD=90°，
设AP=x，则BP=7-x，
分两种情况：
①当$\frac{AP}{AD}=\frac{BP}{BC}$时，即$\frac{x}{2}=\frac{7-x}{6}$，
解得：x=$\frac{7}{4}$；
②当$\frac{AP}{AD}=\frac{BC}{BP}$时，即$\frac{x}{2}=\frac{6}{7-x}$，
解得：x=3，或x=4；
③当P点在A点左侧时还有二种情况，x=$\frac{7}{2}$或x=$\frac{-7+\sqrt{97}}{2}$，
综上所述：当AP=$\frac{7}{4}$或3或4或$\frac{7}{2}$或$\frac{-7+\sqrt{97}}{2}$时，△PAD与△PBC是相似三角形；
即满足条件的点P个数是5个．
故选：A．

点评 本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、解方程；熟练掌握相似三角形的判定定理，通过分类讨论得出比例式是解决问题的关键．