Question

12．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y=-x²+3bx+2b+$\frac{2}{3}$经过B、C两点，则正方形OABC的周长为8．

Answer 1

分析 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$，据此根据抛物线的对称性得到OA的表达式，再根据坐标轴上点的坐标特征可求C点坐标，从而得到OC的表达式，再根据正方形的性质得到OA=OC，依此可得关于b的方程，解方程可求b的值，进一步可求OC的长，再根据正方形的周长公式：C=4a即可求解．

解答 解：抛物线y=-x²+3bx+2b+$\frac{2}{3}$的对称轴直线x=$\frac{3b}{2}$，
则OA=3b，
当x=0时，y=2b+$\frac{2}{3}$，
则OC=2b+$\frac{2}{3}$，
则3b=2b+$\frac{2}{3}$，
解得b=$\frac{2}{3}$，
∴OA=3b=2，
∴2×4=8．
故正方形OABCD的周长为8．
故答案为：8．

点评 考查了二次函数的性质，坐标轴上点的坐标特征，正方形的性质，正方形的周长计算，解题的关键是得到关于b的方程求得b的值．