Question

2．用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD=$\frac{1}{2}$AB．
证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE=∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE=∠B，
∴①．
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠B+∠ACE=90°．
又∵②，
∴∠ACE=∠A．
∴EA=EC．
∴EA=EB=EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE=$\frac{1}{2}$AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

Answer 1

分析 证法1：在∠ACB的内部作∠BCE=∠B，证明CE与CD重合即可；
证法2：延长CD至点E，使得DE=CD，连接AE、BE．证明四边形ACBE是平行四边形．再证出四边形ACBE是矩形．得出AB=CE，即可得出结论．

解答 解：证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE=∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠B+∠ACE=90°．
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACE=∠A．
∴EA=EC．
∴EA=EB=EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE=$\frac{1}{2}$AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．
 故答案为：EC=EB；∠A+∠B=90°；

证法2：延长CD至点E，使得DE=CD，连接AE、BE．如图3所示：
∵AD=DB，DE=CD．
∴四边形ACBE是平行四边形．
又∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形．
∴AB=CE，
又∵CD=$\frac{1}{2}$CE，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键．