Question

【题目】已知，在△ABC中，∠ABC＝90°

（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线MN的垂线，垂足分别为M、N．

①求证：△AMB∽△BNC；

②若△AMB∽△ABC，求证：AC＝AM+CN；

（2）如图2，点D是CA延长线上的一点，DE⊥EB，AE＝AB，AD：BC：CA＝3：3：5，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）

【解析】

（1）①根据同角的余角相等得到∠BAM=∠CBN，根据两角相等的两个三角形相似证明结论；

②作BH⊥AC，证明△BAM≌△BAH，根据全等三角形的性质得到AH=AM，同理得到CH=CN，证明结论；

（2）过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据△AGB∽△BHC，得到，计算即可．

（1）①∵∠ABC＝90°，

∴∠ABM+∠CBN＝90°，

∵AM⊥BM，

∴∠ABM+∠BAM＝90°，

∴∠BAM＝∠CBN，

∵∠BAM＝∠CBN，∠AMB＝∠BNC＝90°，

∴△AMB∽△BNC；

②如图1，作BH⊥AC于H，

则∠AHB＝∠ABC＝90°，又∠BAH＝∠CAB，

∴△AHB∽△ABC，

∵△AMB∽△ABC，

∴△AMB∽△AHB，

∴∠BAM＝∠BAH，

在△BAM和△BAH中，

，

∴△BAM≌△BAH（AAS）

∴AH＝AM，

同理可证，CH＝CN，

∴AC＝AH+CH＝AM+CN；

（2）如图2，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，

∵∠DEB＝90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴，

在Rt△ABC中，，

∴，

由（1）①可知，△AGB∽△BHC

∴，

∵AE＝AB，AG⊥BE，

∴EG＝GB，

∵，

∴EG：BG：BH＝3：3：2，

设EG＝3a，则BG＝3a，BH＝2a，

∵，

∴，

解得，，

由勾股定理得，，

∴．