Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

（3）设抛物线上有一个动点，当点在该抛物线上滑动到什么位置时，满足，并求出此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在；M（1，﹣2）；（3）（1+2，4）或（1﹣2 ，4）或（1，﹣4）.

【解析】

（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值；

（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x=1代入即可得到点M的坐标；

（3）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．

（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，

∴﹣1+3=﹣b，

﹣1×3=c，

∴b=﹣2，c=﹣3，

∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵点A、B关于对称轴对称，

∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小，

设直线BC的解析式为y=kx+t（k≠0），

则，解得：，

∴直线AC的解析式为y=x﹣3，

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴当x=1时，y=﹣2，

∴抛物线对称轴上存在点M（1，﹣2）符合题意；

（3）设P的纵坐标为|yP|，

∵S△PAB=8，

∴AB|yP|=8，

∵AB=3+1=4，

∴|yP|=4，

∴yP=±4，

把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，

解得，x=1±2，

把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，

解得，x=1，

∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．