Question

6．在等边三角形△ABC中，以AB为直径的⊙O与AC交于点E，DE⊥BC于点D．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求出$\frac{CD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可知∠A=∠C=60°，则可求得∠CED=30°，然后证明△AEO为等边三角形，则可得到∠AEO=60°，于是可求得∠DEO=90°；
（2）连结OE、过点O作OF⊥BC，垂足为F．依据含30°直角三角形的性质可得到CD=BF=$\frac{1}{2}$R（⊙O的半径），然后证明EOFD为矩形可得到DF=EO=R．

解答 解：（1）连结OE．

∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°．
又∵OE=OA，
∴△AEO为等边三角形．
∴∠AEO=60°．
∵ED⊥BC，
∴∠EDC=90°．
∴∠CED=30°．
∴∠OED=90°．
∴ED是⊙O的切线．

（2）连结OE、过点O作OF⊥BC，垂足为F．

∵△ABC为等边三角形，AB=2R，△AEO为等边三角形，
∴EC=R．
∴CD=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$R．
同理FB=$\frac{1}{2}$R．
∵DE⊥BC，OF⊥BC，
∴∠EDF=∠DFO=90°．
∵由（1）得∠OED=90°，
∴四边形EOFD为矩形．
∴DF=EO=R．
∴$\frac{DC}{BD}$=$\frac{\frac{1}{2}R}{R+\frac{1}{2}R}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查的是切线的判定、等边三角形的性质和判定、矩形的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．