Question

18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余．
（1）证明：BE∥DF；
（2）如图2，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为点H，试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，先利用角平分线的定义得到∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠ADC，则∠1+∠2=90°，加上∠3+∠2=90°，所以∠1=∠2，然后根据平行线的判定方法可得到结论；
（2）先得到∠A=90°，再利用四边形内角和得到∠C=90°，则∠G+∠4=90°，接着证明∠1=∠G，从而可判定△BFG为等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质可判断∠FBH=∠GBH．

解答 （1）证明：如图1，
∵BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠3=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∴BE∥DF；
（2）解：∠FBH=∠GBH．理由如下：
∵∠3+∠2=90°，
∴∠A=90°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠C=90°，
∴∠G+∠4=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠G=∠2，
而∠2=∠1，
∴∠1=∠G，
∴△BFG为等腰三角形，
而BH⊥FG，
∴∠FBH=∠GBH．

点评 本题考查了平行线的判定与性质：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行；性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．也考查了等腰三角形的判定与性质．