Question

11．A、B两城相距900千米，一辆客车从A城开往B城，车速为每小时80千米，同时一辆出租车从B城开往A城，车速为每小时100千米，设客车出发时间为t（小时）．
探究　 若客车、出租车距A城的距离分别为y₁、y₂，写出y₁、y₂关于t的函数关系式及自变量取值范围，并计算当y₁=240千米时y₂的値．
发现　 （1）设点C是A城与B城的中点，AC=$\frac{1}{3}$AB，通过计算说明：哪个车先到达C城？该车到达C后再经过多少小时，另一个车会到达C？
（2）若两车扣相距100千米时，求时间t．
决策　 己知客车和出租车正好在A，B之间的服务站D处相遇，此时出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种选择返回B城的方案：
方案一：继续乘坐出租车到C城，加油后立刻返回B城，出租车加油时间忽略不计；
方案二：在D处换乘客车返回B城．
试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达B城？

Answer 1

分析 探究：根据路程=速度×时间，即可得出y₁、y₂关于t的函数关系式，根据关系式算出y₁=200千米时的时间t，将t代入y₂的解析式中即可得出结论；
发现：（1）根据（1）中的函数关系式，令y=300即可分别算出时间t₁和t₂，二者做差即可得出结论；
（2）两车相距100千米，分两种情况考虑，解关于t的一元一次方程即可得出结论；
决策：根据时间=路程÷速度和，算出到达点D的时间，再根据路程=速度×时间算出AD、BD的长度，结合时间=路程÷速度，即可求出两种方案各需的时间，两者进行比较即可得出结论．

解答 解：探究：由已知得，y₁=80t（0≤t≤$\frac{45}{4}$），y₂=900-100t（0≤t≤9），
当y₁=240时，即80t=240，
∴t=3，
∴y₂=900-100×3=600；
发现：（1）∵AC=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}×$900=300km，
∴客车到达C点需要的时间：80t₁=300，
解得：t₁=3.75；
出租车到达C点需要的时间：900-100t₂=300，
解得：t₂=6＞3.75，6-3.75=2.25，
∴客车先到达C，再过2.25小时出租车到达；
（2）两车相距100千米，分两种情况：
①y₂-y₁=100，即900-80t-100t=100，
解得：t=$\frac{40}{9}$；
②y₁-y₂=100，即80t-（900-100t）=100，
解得：t=$\frac{50}{9}$．
综上可知：两车相距100千米时，时间t为$\frac{40}{9}$或$\frac{50}{9}$小时．
决策：两车相遇，即80t+100t=900，解得t=5，
此时AD=80×5=400（千米），BD=900-400=500（千米）．
方案一：t₁=（2CD+BD）÷100=7（小时）；
方案二：t₂=500÷80=6.25（小时）．
∵t₁＞t₂，
∴方案二更快．

点评 本题考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键根据数量关系找出方程（或函数关系式）．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决此类型题目时，根据数量关系列出方程（或函数关系式），再一步步的进行计算即可．